Distribuzione di Poisson

  Descritta per la prima volta da Poisson, Simeon-Dennis (1781-1840) nella sua Recherchés sur la probabilité des jugements en matière criminelle et matière civile (1837) e poi nella Teoria da lei dos grandes números e da lei de repartição.

  La distribuzione di Poisson e' una distribuzione per eventi discreti, cioe' che possono avere solo valori interi X=1, 2, 3, 4, ecc.. E' usata per descrivere eventi come: il numero di telefonate in arrivo ad un call-center e la loro sovrapposizione, il numero di auto in arrivo al casello per minuto e poi il numero in partenza, il numero di decadimenti radioattivi prodotti da un campione di sostanza (il numero di nuclei contenuti puo' essere dell'ordine di 10²⁰, mentre la probabilita' di osservare un decadimento in un piccolo intervallo di tempo opportunamente scelto puo' essere piccolissima anche dell'ordine di 10^-20).

  Detta distribuzione e' determitata da un solo parametro, lambda. Definito il parametro lambda uguale alla media mu della distribuzione quella qui sopra e' la formula che calcola il valore del singolo punto della distribuzione per ogni singolo valore di x.

  Una descrizione di questi fenomeni potrebbe essere svolta anche da leggi di tipo binomiale, ma con numeri talmente grandi per cui la formula della distribuzione binomiale sarebbe di scarso uso pratico.

  Questa distribuzione e' molto utile anche in studi ambientali ed ecologici e/o etologici (per esempio per descrivere il numero di cani della prateria che si muovono in un chilometro quadrato di prateria, appunto).

  Facciamo un esempio di uso di questa distribuzione, lo studio dei conteggi di emissione di raggi X prodotti da una analisi EDXRF. Bombardando una lega metallica con una radiazione X di opportuna energia si produce un'emissione secondaria di raggi X da parte degli elementi costituenti la lega stessa. Un rivelatore di area unitaria (1 mm², 1 cm², 1 inch², ecc) viene colpito da un certo numero di fotoni X da cui si puo' calcolare l'intensita' con la formula:

  Come ogni buona misura andrebbe ripetuta un numero statisticamente significativo di volte ma non dobbiamo aspettarci la stessa intensita' in quanto il numero di fotoni emessi e' una variabile aleatoria al pari del numero delle particelle alfa emesse da un elemento radioattivo (oppure al pari del numero di utenti che si presentano davanti lo sportello di un ufficio postale, al numero di macchine che arrivano ad un casello autostradale, al numero di pop corn che esplodono nella macchinetta, ecc).

  La distribuzione del numero di conteggi nel tempo, ripetendo la misura, segue la distribuzione di Poisson. Cioe' se si allargasse la finestra temporale si avrebbe una ditribuzione di Gauss. Nel nostro caso invece t non puo' essere scelto troppo lungo in quanto l'emissione stimolata di raggi X e' un fenomeno breve nel tempo (forse poco piu' di un lampo).

  Per il valore centrale si usa la media aritmetica, che con la solita formula.

  Della distribuzione bisogna, come al solito, calcolare la dispersione. Confrontiamo qui lo scarto quadratico medio di Gauss a sinistra e lo scarto di Poisson a destra.

  Per i grandi valori di n i due scarti si avvicinano.