Teoria dei piccoli campioni, distribuzione di Student, di Cauchy

  Non potendo sottoporre a misura tutta la popolazione abbiamo gia' visto che si usano disegni di campionamento per ottenere una stima della popolazione stessa. Si usa la teoria dei piccoli campioni per cercare di descrivere al meglio la popolazione partendo dai campioni.

  Il matematico Augustin Louis Cauchy (1789-1857) fu il primo a studiare questi problemi ma la descrizione estensiva si deve a Student, pseudonimo di William Sealey Gosset (1876-1937), che nel 1907 e nel 1908, pubblico' due lavori che mostravano come una certa distribuzione di probabilita' (ora chiamata Distribuzione di Student o distribuzione t, ma da lui chiamata z) era utile per stimare la media ed altri parametri di una popolazione che avrebbe una distribuzione Normale ma di cui conosciamo solo un piccolo campione.

  Comunque la distribuzione di Cauchy, precedente, puo' essere considerata una risorsa limite da utilizzare se si dispone di pochi campioni, di solito e' piu' usata quella di Gosset.

  William Sealey Gosset aveva ottenuto un impiego come chimico alla Guinness di Dublino nel 1899 come ripiego non essendo riuscito ad ottenere un docenza universitaria (anche per l'eresia delle sue affermazioni sul campionamento). Non essendoci piu' i roghi gli eretici almeno li si cacciava a parolacce. Gosset seguito' nei suoi lavori anzi si dice con profitto potendo studiare con piccoli campioni le materie prime in ingresso. Nei suoi scritti di statistica uso' uno pseudonimo irriverente A. Student (uno studente) con cui e' oggi famoso.

  Comunque bisogna attendere Fisher che capisce e spiega il lavoro di Gosset si dice diventandone anche amico. Ora una delle sue famose formule, quella del caso "independent one-sample t-test" in cui si controlla se la media della popolazione e' uguale alla media μ₀ (cioe' a quella "attesa" cioe' ipotizzata con le misure sui campioni).

standard error of the mean	the t formula	t-test, mean(s) comparison

  Sono tutte calcolate per un piccolo campione proveniente da una dominio di studio in cui la popolazione e' tutta misurabile. Nelle formule usiamo:

• n per il numero di oggetti,
• X soprasegnato per la media del campione,
• μ₀ e' la media stimata per la popolazione a partire dalle misure sui campioni, per il calcolo si usa la μ e si controlla alla fine che il test sia superato (vedere ipotesi H₀)
• S e' lo scarto quadratico medio del campione,
• S_X e' lo Standard Error Of The Mean, qualche volta si trova scritto anche come σ_X (con X soprasegnato che e' difficile da rendere uguale su tutti i browser!)
• t_(n-1) e' la vera scrittura per il t-test quando si applica ad un campionamento in cui voglio confrontare la media che ottengo dalla "poche" misure (matematicamente X soprasegnato ci stima μ₀ che e' detta media attesa) con la vera media, nota, della popolazione tutta che come sapete e' μ

  Vi sono tutta una serie di condizioni di validita', la prima fra tutte e che non conoscendo la vera distribuzione della popolazione ma solo la sua media μ dobbiamo ipotizzare che questa sia data dalla distribuzione di Gauss. Ora -t- in qualche modo misura la "deformazione" del nostro set di dati rispetto ad una gaussiana.

  N-1 e' da Gosset definito gradi di liberta'. I gradi di liberta' misurano quante variabili sono rimaste dopo aver fissato i parametri della distribuzione. La dispersione e' percio' legata per mezzo di tabelle ai gradi di liberta'. Provate a leggere la definizione di gradi di liberta' (e non solo) in questo glossario, Univ. di Torino.

  Nella formula, che utilizza la t gia' vista, Y e' il valore della distribuzione al variare di t. Il valore di ni (N-1, nel caso di distribuzione di x) e' appunto i gradi di liberta'.

  La figura precedente e' estratta da: A. Student, The Probable Error Of A Mean, Biometrika, 6(1), 1908, pp. 1-25. Come si nota la t di Student ha una forma a campana come la gaussiana, ma con code piu' pronunciate per piccoli valori di ni. Giusto come esempio nella slide seguente usiamo uno dei tanti possibili t-test applicandolo ad uno dei nostri campionamenti: 13 misure su di una popolazione di 127, una di queste sembra anomala.

  Sono almeno 4 i t-test che si usano e su cui la confusione regna sovrana. Senza lo studio attento di queste slide ed ancor di piu' di quelle sulla correlazione non riusciremo a fare chiarezza (speriamo!).

  Gia' rileggendo questo testo mi sembra ci sia confusione fra μ₀ et μ ma vedremo a lezione.