Permutazioni, combinazioni, probabilita' [Permutations]

  Dati 10 oggetti, ne preleviamo 3, li pesiamo, qual'e' la probabilita' che abbiamo estratto proprio i tre piu' pesanti? Visto che stiamo descrivendo il "campionamento" dobbiamo porci questa domanda e trovare una risposta.

  Pero' per gli esempi che dovremo fare, enumerando tutti i casi possibili, 10 oggetti sono troppi, prendiamone quattro, questi:

  Si definiscono permutazioni semplici senza ripetizione tutti le possibili sequenze con cui si possono collocare gli oggetti sotto esame. Ogni oggetto deve essere presente nella sequenza ma nessuno deve essere presente piu' di una volta. E' l'ordine che cambia! Per il nostro esempio abbiamo:

  Il numero di permutazioni si calcola con la formula seguente, che prevede anche i seguenti postulati. Il simbolo ! a fianco di un numero e' il famoso fattoriale. Il calcolo e' il prodotto di tutti gli interi fino ad n. Nel caso di 4! = 1*2*3*4 = 24.

purtroppo qui qualche formula bisogna scriverla

  Ho scelto appunto 4 oggetti e non 10 perche' 10! = 3628800, sarebbe stato difficile scriverli tutti. Il fattoriale e' uno dei numeri inenumerabili, 20! e' ben piu' grande dell'eta' dell'universo in secondi, se ci mettiamo un secondo a scrivere abcdefghijklmnopqrst ed un altro a scrivere bacdefghijklmnopqrst non ci basta il tempo.

  Si definiscono permutazioni con ripetizioni tutti le possibili sequenze con cui si possono collocare gli n oggetti sotto esame quando in essi sono presenti ripetizioni. Ogni oggetto puo' essere presente nella sequenza di partenza piu' volte. Prendendo il caso:

  Otteniamo:

  Dalla formula seguente che tiene conto di quanti oggetti ripetuti ci sono nella seguenza di partenza.

con n1 ripetiz. di A, n2 ripetiz. di B, ....

  Si definiscono disposizioni semplici tutti le possibili sequenze che si possono costruire estraendo una classe grande m da un insieme di n oggetti, con m<n. Ogni oggetto puo' essere presente nella sequenza lunga m solo una volta. Prendendo il caso dell'estrazione di una classe 2 da 4 oggetti:

  Otteniamo:

  Per mezzo della formula seguente che tiene conto della dimensione della classe (m) che vogliamo estrarre dagli oggetti (n).

disposizioni di n oggetti m ad m

  Si definiscono combinazioni semplici tutti i possibili insiemi che si possono costruire da un insieme di n oggetti e che contengano p oggetti in qualsiasi ordine, con p<n. Ogni oggetto puo' essere presente nella sequenza lunga p solo una volta. Prendendo il caso della combinazione di classe 2 da 4 oggetti:

  Otteniamo:

  Il cui numero si puo' calcolare dalla formula seguente che tiene conto della dimensione dell'insieme grande (p) che vogliamo estrarre dagli (n) oggetti.

p combinazioni di n oggetti

  Si definiscono combinazioni con ripetizione tutti i possibili insiemi che si possono costruire da un insieme di n oggetti e che contengano p oggetti in qualsiasi ordine anche con ripetizioni, con p<n. Ogni oggetto puo' essere presente nella sequenza lunga p piu' di una volta. Prendendo il caso della combinazione di classe 2 da 4 oggetti:

  Otteniamo:

  Il calcolo, anzi la formula, prevede gia' la conoscenza delle combinazioni semplici. Il numero degli insiemi e' dato dalla formula seguente che tiene conto della dimensione dell'insieme grande (p) che vogliamo estrarre dagli oggetti (n), contando le ripetizioni.

p combinaz+ripet di n oggetti

  Visto che stiamo parlando di campionamento e che i termini qui riferiti possono essere utili per calcolare le probabilita' di un evento, vediamo alcuni esercizi:

• Q: preleviamo 3 oggetti da un gruppo di 10, seriali, li pesiamo, qual'e' la probabilita' che abbiamo estratto proprio i tre piu' pesanti?
• R: risolviamo con le combinazioni, C³₁₀ = 120. La probabilita' che esca proprio la terna piu' pesante e' 1/120 cioe' lo 0.83%. Bisognera' tener conto di questo nell'ipotesi H₀
• Q: misuriamo per una settimana, una volta al giorno, l'umidita' di un ambiente, quale e' la probabilita' di trovare una serie di 3 valori crescenti?
• R: cerchiamo qualche cosa tipo "cde" nei 7 oggetti "abcdefg", cioe' disposizioni, D³₇ = 210. La probabilita' e' 1/210 cioe' lo 0.48%. Ne terremo conto nell'analisi delle serie temporali
• Q: misuriamo 6 variabili nella composizione di un oggetto, vogliamo visualizzare tutti i possibili grafici var1/var2, quanti grafici dobbiamo preparare? Quanto tempo ci serve?
• R: cioe' cerchiamo tutte le possibili coppie "12", "13", .. "56" partendo da "123456", cioe' combinazioni, C²₆ = 15. Debbo disegnare 15 grafici, diciamo da 10 minuti l'uno, cioe' 2 ore e 30 minuti senza alzarsi dalla sedia

  Ritroveremo questi concetti nel campionamento, nell'experimental design, nella correlazione ed in tante altre parti del programma.